2008-2011年高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编详解

2008-2011年高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编详解年高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编详解1．（10-11年上学期北师大实验高三摸底考试理14）设()fn是对一切正整数n有定义的函数，且(1)1f=，()(1)kfn=−（1n，k是n的素约数的个数）．令()()dnFnfd=（其中dn表示d是n的约数，上式表示对n的一切约数d的函数()fd求和），则(9)F=；(2011)F=．【解析】1−；0．解法一：依据定义：11(9)(1)(3)(9)1(1)(1)1Ffff=++=+−+−=−；∵2011是素数，∴1(2011)(1)(2011)1(1)0Fff=+=+−=．解法二：来计算()Fn的表达式．根据算术基本定理，可以设1212stttsnppp=，其中12,,,sppp为n的全部素因子，1(1)itis≥≤≤．设d是n的约数，根据f的定义，当1212iiikkrrriiidppp=时，()(1)kfd=−，且(1)f正好可以视作0k=的情形．而|()()dnFnfd=，求和是对n的全体约数d求和．由于()fd的取值只可能是(1)k−，所以只需计算出，取值(1)k−的约数d的个数即可．这等价于求n的只有k个素因子的约数d的个数．0k=时，显然只有1d=，个数为1；1k=时，11iridp=，其中1111,1iiisrt≤≤≤≤，d只能取12222111222,,,,,,,,,,,,stttsssppppppppp，个数是121ssiitttt=+++=；一般地对于k为任意的情形，当d的素因子取12,,,kiiippp时，1212iiikkrrriiidppp=，由于ijr能取1到jit，由乘法原理，这种情况下的d的个数是12kiiittt；由于d的素因子可以取任意k个，所以总的只有k个素因子的约数d的个数是12121kkkiiiiiisttt=≤≤≤≤≤；由此可知，|1()()1(1)skkdnkFnfd===+−；考虑多项式12()()()()shxxtxtxt=−−−．由韦达定理可知：12()()()()shxxtxtxt=−−−1212(1)(1)nnnknksksxxxx−−−=−+−+−++−在上式中两边赋值1x=即得121()1(1)(1)(1)(1)(1)skkskFnhttt